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Ejemplos de números reales

En el ámbito matemático existen números que se expresan a través de decimales y agrupan tanto a losnúmeros de perfil racional (aquellos que pueden citarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto a cero) como a los irracionales (grupo de expansiones decimales aperiódicas que no puede ser representado como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero). Esas cifras que también pueden segmentarse en algebraicas y trascendentes de acuerdo a las características que presenten se denominan números reales.

Al realizar operaciones básicas con este tipo de números hay que tener en cuenta dos cuestiones: la primera, que en este conjunto no existen raíces de orden par de números negativos y la segunda, que la división por cero no está definida.

Por razones de espacio y por los infinitos resultados que pueden lograrse al trabajar con números resulta imposible proporcionar a través de este artículo un listado completo de números reales, pero para que el concepto resulte más sencillo de comprender a continuación citaremos algunos ejemplos de esta clase de cifras.

1; 26; 58; 64; 345; 408; -23; – 40; – 59; 2,349…; 3,8; 22,3071; 293,443…; 590; 5,10980; 9482,7525; 256,6542…; 82,8425…; 39,527; 752,6267 y otros.

Propiedades de la multiplicacion

Propiedades de la Multiplicación :

a.-) Conmutativa: en la multiplicación de números racionales del orden de los factores no altera el producto. Es decir: 

ejemplo:

b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir:

ejemplo:

luego: 

c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la multiplicación de números racionales. Es decir a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b

ejemplo:

d.-) Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la multiplicación. Es decir: 

ejemplo:

e.-) Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego sumamos. Es decir: 

ejemplo:

 

=  =

= ß iguales à = 

Propiedades de la adicion

Propiedades de la adición:

a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.

Ejemplo:

Si ;

b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general

si representan números racionales cualquiera, entonces

=

=

c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama elemento neutro de la adición

luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9

 el cero es elemento neutro de la adición de números racionales.

d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición por ejemplo:

luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 = 0

Operaciones con números racionales

Operaciones de los números racionales:

Adición:

La operación que permite calcular la suma de dos números racionales se llama adición. Decimos que la adición en Q es una operación binaria interna porque asocia a cada dos números racionales un número racional. Ejemplo

La expresión 

Sustracción de números racionales:

la sustracción es la operación inversa a la adición. En la adición se busca uno de los sumandos de una suma dada por ejemplo:

Multiplicación de números racionales:

el producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Es decir: ejemplo:

División de Números Racionales:

Para calcular el cociente de un número racional a/b ¸ c/ d basta con multiplicar el dividendo a/b por el inverso del divisor c/d es decir: 

Ejemplo:

dividendo - divisor - cociente

Potenciación de los números racionales:

Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16

Intervalo

NUMEROS REALES 

• . Se pueden escribir con anotación decimal contiene Todos los números enteros Positivos Negativos Fracciones Irracionales los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a .
• . INTERVALOS Son subconjuntos del conjunto de los números reales Tipos Cerrado Abierto Semiabierto Infinito
• . Intervalo Descripción Dibujo Ejemplo ( a, b ) Abierto Conjunto de números x tales que a < x < a (-1, 5) [ a, b ] Cerrado Conjunto de números x tales que a ≤ x ≤ b [0, 10] ( a, b ] Semiabierto Conjunto de números x tales que a ≤ x ≤ b (-3, 1] [ a , +∞) Infinito Conjunto de números x tales que a ≤ x [0, +∞)
• . Intervalo Semiabierto Descripción Dibujo Ejemplo ( a, b ] Conjunto de números x tales que a < x ≤ a (-3, 1] [ a, b ) Conjunto de números x tales que a ≤ x < a [ - 4, - 1)
• . Intervalo Infinito Descripción Dibujo Ejemplo [a, +∞) Conjunto de números x tales que a ≤ x [0, +∞) (a, +∞) Conjunto de números x tales que a < x (-3, +∞) (-∞, a] Conjunto de números x tales que x ≤ a (-∞, 0] (-∞, a) Conjunto de números x tales que x < a (-∞, 8) (-∞, +∞) Conjunto de todos números reales (-∞, +∞)
• . Tipos de Números Reales Número Racional Número Irracional Aquellos que pueden expresarse Son todos los demás números como El cociente de dos números enteros ejemplo 3 , 0,5,8/7 Algebraicos Transcendentes No puede ser expresado en fracción Cualquier número real o complejo Que es solución de una ecuación polinómica ejemplo Tipo de numero irracional que proviene de una simple relación algebraica

Ejemplo

Para  es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Caracteristicas

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:  ={1,2,3,4...}

• Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
• Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
• El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.
• El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien.
• Todo subconjunto  no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento  tal que para todo  de  se tiene .
  Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.